Šajā rakstā tiks izpētīts, kas ir ortonormāls pamats matricas un kā tās atrast MATLAB, izmantojot orth() funkciju.
Kādi ir matricas ortonormālie pamati
Lineārajā algebrā ortonormāls pamats vektoru telpas V ar ierobežotu dimensiju ir pamats, kam ortonormālie vektori kur ortonormālie vektori ir vienības vektori, kas ir ortogonāli viens otram, kas ir to punktu reizinājums ir nulle.
Apsveriet divu vienību vektorus x un y, tie būs viens otram ortogonāli, ja “x.y=0” . Šos divus vektorus sauc arī par ortonormālie vektori .
Kāpēc mums ir jāaprēķina ortonormālā bāze?
Ortonormāls pamats ir noderīga, lai atrastu vektora projekciju uz citu vektoru vai atrastu attālumu starp diviem vektoriem. Mēs varam izmantot arī an ortonormāls pamats lai samazinātu noapaļošanas kļūdu mūsu simulācijās, un vienīgais iemesls tam ir tas, ka ortonormālā pamata vektori ir neatkarīgi viens no otra, tādējādi kļūda vienā vektorā nevar izplatīties uz citiem vektoriem. Turklāt koordinātu atrašana un lineāras transformācijas veikšana ir daudz vienkāršāka, ja mūsu pamats ir ortonormāls.
Kā MATLAB atrast ortonormālo matricas pamatu?
Programmā MATLAB mēs varam atrast ortonormāls pamats izmantojot iebūvēto orth() funkcija, kas ir atbildīga par noteikšanu ortonormāls pamats no dotās matricas. Šī funkcija pieņem matricu kā obligātu parametru un nodrošina matricu kā izvadi, kas satur ortonormāls pamats no dotās ievades matricas.
Sintakse
The orth() funkciju var ieviest MATLAB, izmantojot šādas sintakses:
Q = orth ( A,tol )
Šeit,
- Funkcija Q = orth (A) ir atbildīgs par noteikšanu ortonormāls pamats A diapazonam, kur izvades matricas Q kolonnas apzīmē ortonormāls pamats matricas A, un tie izsūta surogātpastu matricas A diapazonam. Arī A rangs ir vienāds ar Q kolonnu skaitu.
- Funkcija Q = orth(A,tol) ir atbildīgs par noteikšanu ortonormāls pamats A diapazonam, kas norāda pielaidi. Ievades matricas A vienskaitļa vērtības, kas ir mazākas par pielaidi, tiek uzskatītas par nulli, ietekmējot Q kolonnu skaitu.
1. piemērs. Kā atrast ortonormālo pamatu pilna ranga matricai MATLAB?
Šis MATLAB kods nosaka ortonormāls pamats no dotās kvadrātmatricas A, kuras izmērs ir n=3, izmantojot orth() funkciju. Šis kods arī atrod matricas A rangu, izmantojot rangs() funkcija, lai pārbaudītu, vai ievades matrica ir pilna ranga.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = rangs ( A )
Q = orth ( A )
2. piemērs: Kā aprēķināt ortonormālo bāzi ranga deficīta matricai MATLAB?
Šajā piemērā mēs izmantojam orth() funkcija, lai atrastu ortonormāls pamats no dotās ranga deficīta matricas A. Matrica A ir ranga deficīta, jo rangs(K)
r = rangs ( A )
Q = orth ( A )
3. piemērs: Kā atrast ortonormālo pamatu pilna ranga matricai, norādot pielaidi MATLAB?
Dotais piemērs aprēķina ortonormāls pamats no dotās pilna ranga kvadrātveida matricas A ar izmēru n=3 izmantojot orth() funkcija ar noklusējuma pielaidi. Tā kā A ir pilna ranga matrica, A un Q lielums (ortogonāls pamats) ir tas pats, kas šajā gadījumā ir 3 × 3. Pēc tam piemērs aprēķina ortonormāls pamats no A, norādot pielaides vērtību 0,5, lai A vērtības, kas ir mazākas par 0,5, uzskatītu par vienskaitļa vērtībām. A ir trīs vienskaitļa vērtības, tāpēc A ir divi ortonormāli kolonnu vektori, ko satur Qtol matrica.
A = rands ( 3 ) ;r = rangs ( A )
Q = orth ( A )
Q_tol = orth ( A, 0.5 )
Secinājums
Meklējot ortonormāls pamats vektoru telpa ir svarīgs lineārās algebras jēdziens, kas ir sarežģīta matemātiska problēma. Tomēr to var viegli un efektīvi atrisināt, izmantojot MATLAB iebūvēto orth() funkciju. Šajā rakstā ir aprakstīta šīs funkcijas ieviešana, izmantojot dažādas sintakses un piemērus.